js判断一个数是否是素数/质数

我们经常会有判断一个数值是素数的需求，那么我们如何来实现呢？

首先，我们来看下关于“素数”的定义，在抛开程序范畴的情况下，如何定义一个数值是素数？

质数（prime number）又称素数，有无限个。 质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。

关于素数的个数是无限的，可以通过反证法来证明，如下：

质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，  是素数或者不是素数。
如果  为素数，则  要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。
1、如果 为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。
2、其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明。

当我们了解了一个素数的定义后，我们就可以通过程序来计算或判断是否是素数。

实现1

我们可以通过轮询来判断该数值是否可以被其他数值进行整除,那么实现如下：

function isPrime(n){
  //1.首先明白，n是大于1的自然数；2.如果n为2，那么n为素数。
  if(n === 2 ){return true;}
  for(let i=2;i<n;i++){
    if(n % i === 0){
      return false;
    }
  }
  return true;
}

如上所示，我们根据这个函数进行一个测试，获得第N个素数，看下会使用多久的时间计算出来。

//获得第几个素数
function getPrime(n){
  var arr = [];
  var start = 2;
  while(arr.length < n){
    if(isPrime(start)){
      arr.push(start);
    }
    start ++ ;
  }
  return arr[arr.length -1];
}

当我们数量达到50000的时候，会发现时间明显的非常长了，大约耗费了70s时间，很明显还会有优化的空间。

实现2

我们继续了解素数的定义，会发现所有的偶数都不会是素数，素数只能是奇数。而且，我们的循环也可以抛开偶数进行循环，那么次数又会减少不少，如下：

function isPrime(n){
  if(n === 2){
    return true;
  }else if(n % 2 === 0 ){
    return false;
  }
  var r = Math.sqrt(n);
  for(let i=3;i<=r;i+=2){
    if(n % i === 0){
      return false;
    }
  }
  return true;
}

当我们使用以上实现来获得的时候，会发现，消耗时间减少数倍，当然，结果肯定是相同的。

之后测试到百万级别的时候发现已经消耗时间较长了，达到8s,当然，仍然比第一个方法更少的消耗时间，当到千万级别的时候，就开始明显的提升了。